Ни один выпускник не может справиться с этим заданием из ЕГЭ по математике — думаете, у вас получится?

Из года в год мы слышим всё больше жалоб выпускников на то, что задания на ЕГЭ слишком сложные. Кто-то считает, что это школьники просто малообразованные и толком не готовятся, но вы попробуйте сами справиться с тем, что подсовывают им на экзаменах. Когда мы увидели это уравнение, что дают школьникам на госэкзамене, наши гуманитарные мозги заскрипели так, что сейсмологи хотели было объявить сейсмическую опасность. Но не спешите злорадствовать — лучше сами попробуйте найти правильное решение. У вас, кстати, в отличие от школьников, будет фора — в виде нескольких вариантов ответов. Так что, возможно, вам просто повезет.

А задача заключается в том, что вам нужно найти все значения параметра а, при каждом из которых у следующего уравнения будет ровно два различных корня.

Ну что, готовы блеснуть математической смекалкой? Тогда попробуйте найти правильный ответ, а ниже мы предоставим вам решение.

А теперь приступим к решению.

Заметим, что х не равен нулю. Сделаем замену х - 9/х = t. Получаем следующее уравнение:

at² - 2t - 49a + 18 = 0.

Произведем анализ замены. Так как х не равен нулю, то можем домножить уравнение на х.

x² - 9 = tx

x² - tx - 9 = 0

D = t² + 36 > 0

Видим, что при любом t уравнение х - 9/х = t имеет два корня. Тогда, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы новое уравнение относительно t имело ровно один корень.

При а = 0 уравнение не является квадратным и принимает вид:

-2t +18 = 0

t = 9

То есть а = 0 подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда а не равно нулю. Уравнение является квадратным, и, чтобы оно имело одно решение, необходимо условие D = 0:

at² - 2t - 49a + 18 = 0

D = 4 - 4a(18 - 49a) = 0

1 - a(18 - 49a) = 0

49a² - 18a + 1 = 0

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения при следующих значениях а: